第22题　二次函数综合

已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像经过点 (1, 0)，且对任意实数 x 满足：

f (x−2) + f (x+2) = 2 f (x) + 8

（1）求该二次函数的解析式。

（2）设图像与 x 轴正半轴交点为 A，与 y 轴交点为 C。点 M 是图像上的动点，判断是否存在点 N 在 x 轴上，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形。若存在，求出所有满足条件的点 N 的坐标。

第23题　几何综合探究

边长为 1 的正方形 ABCD，点 E 为 AD 中点。连接 BE，将 △ABE 沿 BE 折叠得到 △FBE，BF 交对角线 AC 于点 G。

（1）求 CG 的长度。

（2）（拓展）以"反直角三角形"新定义为背景，考查类比探究能力。

第24题　二次函数综合

已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像与 x 轴相交于两点 A、B，且该抛物线的顶点在第一象限。已知点 P(2, 4) 在抛物线上，点 Q(1, 2) 在抛物线的对称轴上。

（1）求参数 a, b, c 的取值范围。

（2）求抛物线的顶点坐标及最大（最小）函数值。

（3）求函数图像与 x 轴的交点。

（4）求由原点 O 与 A, B 两点构成的 △OAB 的面积最小值。

第23题　几何折叠综合

△ABC 为等腰三角形（AB = AC），AD 为 ∠A 的角平分线。在 AB 上取点 E 使得 DE∥AC。把 △ABC 沿 AD 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 F。

（1）求证相关线段关系（角平分线 + 平行 → 等腰）。

（2）求 ∠BFC 的大小。

（3）探究折叠后图形中线段之间的数量关系。

【答案】∠BFC = 30°

第20题　圆的几何证明

在圆上，两条弦 AB、CD 相交于点 E。已知 AB、CD 的部分长度以及 ∠AEB 的度数。

（1）证明四边形 ACBD 为圆内接四边形。

（2）求出 ∠ACD 的具体数值。

（3）根据已知长度求出 △AEC 的面积。

徐州　直角三角形旋转 + 面积最值

以直角三角形旋转为背景，综合考查全等三角形、相似三角形、四边形性质以及面积最值问题。前两问侧重基础证明，最后一问求旋转后形成图形的面积最值。

苏州　第16题（填空压轴）

代数与几何结合，推导并计算由直角三角形旋转生成的复合图形的面积公式，考查建模、推理和计算能力。

扬州　填空压轴

利用相似三角形关系和面积比例完成一系列数值求解。

第24题　几何最值

菱形 ABCD 中，AC = 8，AB = 5。对角线交于点 O。点 E 在射线 AD 上，作 EF⊥AC 于 F。P 为射线 AE 上一动点。

（1）求 sin∠BAC 的值。

（2）当 EF⊥AC 时，求 AE 的长度并证明相关结论。

（3）★ 求 PA − PB 的最小值。

关键思路链：PA−PB 最小 → PB−PO 最大 → 勾股定理转化为含 PB 的代数式 → PB 最小 = 点 B 到 EF 的距离 → PB_min = 24/5 → 代入求值。

评析：思维链路极长，需代数−几何混合思维，但不超纲。前面 116 分比最后 4 分更关键。